Афанасий Николаевич Рыжков родился 03.12.1901 г. в станице Филоновская Области Войска Донского.
15 декабря 1917 г. добровольно вступил в отряд самообороны г. Шахты. 3 января 1918 г. с отрядом шахтеров влился в 1-й советский Черноморский отряд А.В. Мокроусова. В его составе сражался с войсками Добровольческой армии генералов П.Н. Краснова, А.М. Каледина, А.И. Деникина. 23 февраля в бою под Новочеркасском был контужен и госпитализирован. По излечении в марте там же был зачислен красноармейцем в 1-й запасной (караульный) батальон. В составе сводного отряда Новочеркасского гарнизона вместе с отрядом Донского ревкома и 5-й армией отходил через Каменская, Лихая на Царицын, ведя тяжелые бои с восставшими донскими казаками генерала А.П. Богаевского. По прибытии в Царицын 10 августа отряд был расформирован, а А.Н. Рыжков был зачислен красноармейцем в железнодорожный батальон при Южной группе бронепоездов Южного фронта, который действовал в районе Грязи, Козлова, затем в направлении Воронежа, Миллерово, Ростова-на-Дону. С 12 ноября по 14 декабря 1919 г. находился в госпитале по болезни в г. Миллерово, затем там же числился в караульном батальоне. 5 мая 1920 г. был командирован на учебу на 1-е Московские артиллерийские командные курсы РККА. С 8 октября в составе сводного отряда курсантов был направлен на Украину на ликвидацию бандитизма в районах нас. пунктов Черкассы, Золотоноша, Бобринка. 22 февраля 1921 г. на базе отряда были сформированы 42-е Черкасские командные пехотные курсы командиров РККА, которые он окончил в апреле 1922 г.

После окончания курсов проходил службу командиром отделения отдельного взвода особого назначения в г. Изъяславль. С августа 1922 г. командовал литерным взводом особого назначения в м. Славута, затем был командиром взвода в отдельной роте особого назначения в г. Изъяславль и в отдельной Шепетовской роте особого назначения, а с октября 1923 г. командовал ружейно-пулеметным взводом отдельной роты особого назначения в г. Коростень. В августе 1924 г. переведен в 132-й стрелковый полк 44-й стрелковой дивизии в г. Житомир, где проходил службу командиром пулеметного взвода, врид политрука роты, командиром стрелкового взвода. С августа 1925 по август 1927 г. учился в киевской Объединенной военной школе командиров РККА им. главкома С.С. Каменева. После её окончания был назначен в 221-й стрелковый полк 74-й стрелковой дивизии СКВО, где исполнял должности командира взвода, врид командира и политрука роты. В октябре 1929 г. командирован на Военно-политические курсы в г. Киев. По окончании обучения в июне 1930 г. назначен в 22-ю стрелковую дивизию, где последовательно занимал должности политрука роты 65-го стрелкового полка, командира и политрука роты 64-го стрелкового полка, начальника и комиссара сборов старшего и среднего политсостава запаса при дивизии, командира и политрука учебной роты 64-го стрелкового полка. С 23 февраля по 15 апреля 1932 г. находился на курсах штабных работников при курсах «Выстрел». По возвращении в полк проходил службу начальником штаба и врид командира учебного батальона. С марта 1933 г. служил в штабе округа в должности пом. начальника 4-го сектора 6-го отдела. С февраля 1934 г. был пом. начальника и врид начальника 1-й части штаба 28-й горнострелковой дивизии. С июня 1934 по сентябрь 1937 г. находился на учебе в Военной академии РККА им. М.В. Фрунзе, по окончании которой направлен начальником штаба 97-й стрелковой дивизии КВО.

В июне 1938 г. переведен на Дальний Восток начальником штаба 40-й ордена Ленина стрелковой дивизии 1-й Отдельной Краснознаменной армии. С 28 июля по 12 августа 1938 г. принимал участие в боях на оз. Хасан. 6 августа при атаке сопки Заозерная был ранен. Указом ПВС СССР от 25 октября 1939 г. за мужество и героизм в боях он был награждён орденом Красного Знамени. В конце ноября 1938 г. назначен пом. командира по строевой части 21-й стрелковой дивизии в г. Спасск. С февраля 1939 г. командовал 34-й стрелковой дивизией им. В.В. Куйбышева в составе 20-го стрелкового корпуса 2-й Отдельной Краснознаменной армии Дальневосточного фронта. Однако в конце апреля 1941 г. он был отстранен от должности и направлен в ЗапОВО зам. командира 56-й стрелковой дивизии в г. Гродно.

В начале комбриг Рыжков в прежней должности. В первые часы войны дивизия вступила в тяжелые бои с превосходящими силами противника в районе Августов в составе 4-го стрелкового корпуса 3-й армии Западного фронта. Будучи отрезанным от основных сил дивизии и корпуса, комбриг А.Н. Рыжков организовал отряд до 1,5 полка дивизии с двумя артиллерийскими дивизионами и с боями отходил с ним на Гродно, Осовец. Входе тяжелых боев с 1 по 5 июля в районе крепости Осовец отряд понес большие потери, после чего А.Н. Рыжков во главе небольшого отряда сумел прорвать кольцо окружения и через 2 дня соединиться с оперативной группой фронта генерала И.В. Болдина. В конце июля генерал И.В. Болдин объединил окруженные отдельные отряды и группы в сводную партизанскую дивизию, а комбриг А.Н. Рыжков был назначен начальником штаба и зам. командира этой дивизии. 11 августа сводной дивизии удалось с боем прорваться через линию фронта и выйти на участке 19-й армии. После выхода из окружения она была расформирована, а комбриг А.Н. Рыжков назначен командиром отдельной моторизованной бригады 29-й армии. В составе армии она вела оборонительные и наступательные бои в районе городов Белый, Калинин. 25 декабря комбриг А.Н. Рыжков был назначен врид командира 355-й стрелковой дивизии. 39-й армии Калининского фронта. Дивизия участвовала в Ржевско-Вяземской наступательной операции, наступала на Сычевку. В феврале — июне 1942 г. войска армии, в том числе и 355-я стрелковая дивизия, вели бои в районе г. Белый, находясь под угрозой окружения. Со 2 по 5 июля противник двумя встречными ударами перерезал коммуникации армии и полностью окружил её. Против 355-й стрелковой дивизии, оборонявшейся в районе Шисдерово (восточнее Нестерово), вели наступление части 5-й танковой дивизии противника. Попавшие в окружение части дивизии вели тяжелые бои с превосходящими силами противника. 10 июля при прорыве из окружения комбриг был тяжело ранен. 14 июля он был захвачен в плен разведгруппой противника, осуществлявшей прочесывание леса в районе Нестерово. Содержался в лагерях военнопленных. 2 апреля 1945 г. освобожден частями американской армии и направлен в распоряжение начальника советской военной миссии во Франции (Париж), после чего был отправлен в Москву в числе нескольких других пленных советских генералов.

С 26 мая 1945 г. проходил спецпроверку при Главном управлении контрразведки Смерш. По её завершении 31 декабря был восстановлен в кадрах РККА и зачислен в распоряжение ГУК НКО. В марте 1946 г. направлен на курсы усовершенствования командиров стрелковых дивизий при Военной академии им. М.В. Фрунзе, после которых был назначен зам. командира 180-й стрелковой дивизии ОдВО. В сентябре 1950 г. уволен в запас.

Проживал в городе Каменске-Шахтинском Ростовской области. Умер летом 1971 г. Похоронен на городском кладбище.