Родился 15 января 1900 года в Орле в семье рабочего. Окончил 6-и-классное городское училище. Работал на заводе. В Красной армии с октября 1918 г. Окончил 2-е Московские пехотные курсы комсостава (1920), выдержал экстерном испытание за курс нормальной пехотной школы (1924), курсы «Выстрел» (1926).
В Гражданскую войну П.В. Богданов в марте 1918 г. поступил рядовым бойцом в военно-революционный отряд Сорокина в г. Орел, который был сформирован из рабочих и служащих железнодорожной станции. С этим отрядом в августе участвовал в подавлении Ливенского антисоветского восстания. 25 октября 1918 г. в дер. Ичня под Обоянью добровольно вступил в РККА и был зачислен в 8-й Обоянский повстанческий полк (Впоследствии полк был переименован сначала в 14-й Красный, затем в 410-й стрелковый полк в составе 46-й стрелковой дивизии). В этом полку начал службу батальонным писарем, затем был назначен адъютантом батальона. В его составе участвовал в боях с войсками генерала А.И. Деникина на Южном фронте. С декабря 1919 по август 1920 г. учился на 2-х Московских пехотных курсах комсостава. После завершения обучения был назначен помощником командира роты 65-го стрелкового полка 8-й стрелковой дивизии. В ее составе сражался с бело-поляками на Западном фронте. 13 октября 1920 г. в бою под м. Станькова был контужен и эвакуирован в госпиталь, затем отправлен в двухмесячный отпуск. В январе 1921 г. П.В. Богданов был назначен в 19-й стрелковый полк ВНУС в г. Орел, впоследствии переименованный сначала в 3-й продовольственный полк МВО, затем в 339-й стрелковый полк. В этом полку был командиром взвода, исполнял должность для поручений при командире батальона, помощник командира роты.
После войны, в ходе реорганизации 339-го стрелкового полка, П.В. Богданов был направлен в г. Курск в 52-й стрелковый полк 18-й бригады. В 1922 г. полк был переформирован в 18-й стрелковый полк 6-й стрелковой дивизии МВО с дислокацией в г. Ливны. В этом полку прослужил до апреля 1931 г., исполняя должности командира взвода, пом. командира и командира роты, пом. командира батальона, начальника полковой школы, командира батальона. Одновременно в 1924 г. выдержал экстерном испытание за курс нормальной пехотной школы, в 1926 г. окончил курсы «Выстрел». В апреле 1931 г. П.В. Богданов был назначен командиром 1-го отдельного пулеметного батальона, который дислоцировался сначала в Гороховецких лагерях, а с осени — в Ярославле. В декабре 1931 г. батальон был передислоцирован в ЛВО и вошел в подчинение Карельского УРа. В марте 1935 г. П.В. Богданов назначается командиром 59-го стрелкового полка 20-й стрелковой дивизии. В сентябре 1936 г. полк вошел в состав 67-й стрелковой дивизии и был переименован в 200-й стрелковый полк. В ноябре 1937 г. полк переводится в БВО в г. Себеж. В 1938 г. вместе с дивизией был передислоцирован в Калининский ВО, где переименовывается в 114-й стрелковый полк. С ноября 1938 г. П.В. Богданов исполнял должность начальника штаба 67-й стрелковой дивизии. В августе 1939 г. полковник П.В. Богданов был назначен командиром 48-й стрелковой дивизии в г. Калинин. В июле 1940 г. дивизия вошла в состав 8-й армии ПрибВО с дислокацией в г. Рига. Накануне войны дивизия начала выдвижение походным порядком из лагерей под Ригой к Государственной границе в район Немокшаны, куда должна была прибыть 23 июня 1941 г.
С началом Великой Отечественной войны части дивизии, находясь на марше, подверглись мощным ударам немецкой авиации, в результате понесли большие потери. Во второй половине дня 22 июня 1941 г. в районе Эржвилки дивизия была внезапно атакована передовым отрядом 4-й танковой группы противника, прорвавшимся с направления Таураге. Несмотря на мужество бойцов и командиров, при крайне ограниченном количестве боеприпасов, она фактически была разгромлена. 25 июня ее остатки были рассеяны в районе г. Расейняй (Литва). Генерал-майор П.В. Богданов с группой бойцов и командиров 7 июля сдался немецкому разъезду в районе Новосвенцяны. 22 июля он был помещен в лагерь военнопленных в г. Сувалки и назначен старшим по лагерю. Через 4 дня на построении он выдал полкового комиссара 48-й стрелковой дивизии Фоминова и старшего политрука Колобанова, которые впоследствии были расстреляны. 18 сентября 1941 г. П.В. Богданов переводится в одну из берлинских тюрем, где подал следователю заявление с просьбой дать ему возможность сформировать из военнопленных отряд для борьбы с Красной армией. После этого его перевели в лагерь министерства пропаганды Вульгайде. В июне 1942 г. он был завербован в агентурно-политическую организацию «Боевой союз русских националистов », находившуюся под опекой разведоргана «Цеппелин». В начале августа П.В. Богданов написал два воззвания, переданные по радио: «К русскому народу» и «К генералам Красной армии».
26 октября 1942 г. Военной Коллегией Верховного Суда СССР заочно осужден к высшей мере наказания — расстрелу. В декабре того же года П.В. Богданов вступил рядовым во 2-ю русскую дружину СС. В январе 1943 г. произведен в поручики и назначен заместителем начальника штаба "Дружины". В марте 1943 г., после формирования 1-го русского национального полка СС, он был произведен в майоры и назначен начальником контрразведки полка. В апреле произведен в генерал-майоры. Принимал активное участие в карательных операциях против партизан и местного населения. В июне 1943 г. П.В. Богданов был назначен начальником контрразведки (Служба предупреждения "СП") 1-й русской национальной бригады СС. 14 августа (по другим данным 16-го) 1943 г. накануне перехода бригады на сторону партизанского отряда им. Железняка П.В. Богданов был арестован В.В. Гилем и передан партизанам. 20 августа 1943 г. органами «СМЕРШ» был оформлен ордер на арест.

24 апреля 1950 г. Военной Коллегией Верховного Суда СССР осужден по ст. 58-1, п. «б», УК РСФСР к высшей мере наказания — расстрелу. В тот же день приговор был приведен в исполнение.
Определением Военной Коллегии Верховного Суда Российской Федерации от 21 августа 2001 г. П.В. Богданов был признан не подлежащим реабилитации.